Подобност

автор: Петя
четен: 5009 пъти
English version:

Хомотетични фигури

 
            Две фигури, които са съответни при хомотетия, се наричат хомотетични.

• Теорема 1: Всеки две успоредни отсечки са хомотетични.

• Теорема 2: Всеки две окръжности са хомотетични.

           Следствие 1: Ако две окръжности с и с₁ се допират, допирната им точка е център на едната хомотетия, при която с → с₁.

            Следствие 2: Ако права t е обща допирателна на де окръжности с и с_1, тя минава през един от центровете на хомотетиите, при които с → с₁.

 

            Подобност. Подобни фигури

• Определение: Подобност се нарича преобразувание, при което за всеки две точки А, В и техните съответни А’, В’ е изпълнено А’В’ = k.AB, където k е дадено положително число. Числото k се нарича коефициент на подобността.

•  Всяка еднаквост е подобност с коефициент k = 1 (АВ = А’В’).
•  Всяка хомотетия е подобност с коефициент |k|, където k е коефициентът на хомотетията.

            Хомотетията се нарича още централна подобност с център на подобие S, където S е центърът на хомотетията. Две хомотетични фигури се наричат още централно подобни фигури.

• Теорема: Образът на отсечка при подобност е отсечка.

• Определение: Фигурата F₁ се нарича подобна на фигурата F₂, ако съществува подобност, при която образът на F₁ e F₂.

            “Фигурата F₁ е подобна на фигурата F₂” се записва „F₁ ~ F₂”.

            Понятието подобни фигури притежава свойствата:

• F ~ F (рефлективност)

• Ако F₁ ~ F₂, то F₂ ~ F₁ (симетричност)

• F₁ ~ F₂, F₂ ~F₃, то F₁ ~ F₃ (транзитивност)

            Запомнете! Две хомотетични фигури са подобни, но не всеки две подобни фигури са хомотетични.

 

            Основно свойство на подобностите:

• Всяка подобност, която не е хомотетия или еднаквост, може да се замени с последователно прилагане на една хомотетия и една еднаквост.

• От основното свойство на подобностите следва, че свойствата на фигурите, които се запазват при хомотетия и при еднаквост, се запазват и при еднаквост.

 

            Свойства на подобностите: При всяка подобност

1.права се преобразува в права;

2.успоредни прави се преобразуват в успоредни прави;

3.лъч се преобразува в лъч;

4.полуравнина се преобразува в полуравнина;

5.окръжност се преобразува в окръжност;

6.ъгъл се преобразува в равен на него ъгъл;

7.отсечката АВ се преобразува в отсечката А’В’, като АВ/А’В’ е равно на коефициента на подобността;

8.отношението на образите на две отсечки е равно на отношението на отсечките.

 

• Определение: Два многоъгълника са подобни, ако съответните им ъгли са равни, я съответните им страни са пропорционални.