Пирамида

автор: Петя
четен: 53876 пъти
English version:

• Определение:Многостен, на който една от стените е многоъгълник, а останилите му страни самногоъгълници с общ връх и основи – страните на многоъгълника, се наричапирамида.

         Пирамидатае правилна, ако основата й е квадрат.

• Височина на пирамидата се нарича отсечката, единият край на коятосъвпада с върха на пирамидата, а другият е проекцията му върху равнината наосновата.

• Дължината на височината е равна на разстоянието от върха напирамидата до равнината на основата й.

            За правилната пирамидаимаме

• Центърът О на основата съвпада с проекцията на върха на пирамидата върхуравнината на основата, тъй като равните наклонени имат равни проекции.

         Тогаваотсечката, която съединява върха с центъра на основата е височината напирамидата.

• Околните стени са еднаквиравнобедрени триъгълници.

• Височината на коя да е околнастена на правилната пирамида, прекарана към съответния основен ръб, се нарича апотема на пирамидата.

            Проекциятана апотемата върху основата е апотема на основата.

Повърхнина и обем на пирамида

• Повърхнината (пълната повърхнина)на неравилна пирамида намираме, катосъберем лицата на всичките й стени.

• Околните стени на правилна пирамида са еднаквиравнобедрени триъгълници с основа – страната на основата на пирамидата ивисочина – апотемата й k.

• Лицето на околната повърхнина на правилна n – ъгълна пирамида намираме поформулата: S = n.a.k/2 = P.k/2, където n.a = P епериметърът на основата.

• Лицето на пълната повърхнина на правилна пирамида намираме, като към лицето на околнатаповърхнина прибавим лицето на основата: S₁ = S + B. Знаем,че обемът на правилна пирамида се намира по формулата V= Bh/3, където h e височината, а В – лицетона основата на пирамидата.

• Обемът на неправилна пирамида се намира по същата формула.

• Височина на пирамида

            Акопирамидата е правилна, петата нависочината й е центърът на основата.

            Акопирамидата не е правилна, пететатана височината й може да бъде коя да е точка от равнината на основата. Заопределянето на тази точка се използват свойствана пирамидата.

• Свойство 1: Дваоколни ръба МА₁ и МА₂ на пирамидата са равнитогава и само тогава, когато петата Она височината МО лежи на симетралатана отсечката А₁А₂.

            От свойство1 следва, че: Ако три от околните ръбове на пирамида са равни,петата О на височината е пресечната точка на симетралите на съответните странии диагоналите на основата.

• Свойство 2: Всичкиоколни ръбове на една пирамида са равни тогава и само тогава, когато околоосновата й може да се опише окръжност и петатана височината съвпада с центърана тази окръжност.

• Свойство 3: За n – ъгълнапирамида са еквивалентни следните твърдения:

            всичкиоколни ръбове са равни;

            всичкиоколни ръбове сключват равни ъгли с основата;

            проекциитена всички околни ръбове върху основата са равни;

            всичкиоколни ръбове сключват равни ъгли с височината.

• Свойство 4: Двеоколни стени на пирамида сключват равни ъгли с равнината на основата й тогава исамо тогава, когато петата на височината е равноотдалечена от съответнитеосновни ръбове.

            Акодве съседни околни стени на пирамидасключват равни ъгли с равнината на основата,точката О (петата на височината) лежиили на вътрешната ъглополовяща, или на вуншната ъглополовяща при върха А₂ на основата.

            Акотри околни стени на пирамидасключват равни ъгли с равнината на основата,точката О не се определя еднозначно.Обаче, ако условието е – трите стени да сключват равни ъгли с основата на пирамидата, точка О се определя еднозначно.

Бележка: Когато вусловиета на задачата е даден ъгълът между околната стена на пирамидата и равнината на основата й, трябва да серазгледат два случая: когато ъгълът е между околната стена и основата и когатоъгълът е между околната стена и „външната” част на основата на пирамидата.

• Свойство 5: Всичкиоколни стени на една пирамида сключват равни ъгли с основата й тогава и само тогава, когато в основата й може да севпише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази икръжност.

• Свойство 6: За n – ъгълнапирамида са еквивалентни следните твърдения:

• всичкиоколни стени сключват равни ъгли с основата;
•  височинитена всички околни стени са равни;
•  проекциитана височините на всички околни стени върху основата са равни;
•   всичкиоколни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата.

• Свойство 7: Околенръб МА и основен ръб АВ, излизащи от един основен връх напирамида, са перпендикулярни тогава и само тогава, когао петата О на височината на пирамидата лежи направата през А, перппендикулярна на АВ.

• Свойство 8:Кръстосан околен ръб МА и основен ръбВС на пирамида са перпендикулярнитогава и само тогава, когато петата Она височината на пирамидата лежи върху перпендикуляра, спуснат от А към ВС.