Криви от втора степен

автор: Петя
четен: 13873 пъти
English version:

Окръжност

 

• Определение: Окръжност се нарича множеството отточките в равнината, които се намират на дадено разстояние от дадена точка.

            Даденоторазстояние се нарича радиус, ададената точкча – център наокръжността.

            Нека в равнината е избрана правоъгълна координатната система Оху. Ще намерим уравнение на окръжността k с център С (а; b) и радиус R.

            Една точка М (х; у) лежи на окръжността k тогаваи само тогава, когато CM = R, т.е. когато sqrt ((x – a)² + (y – b)²) = R². Полученето уравнение може да се запише във вида (1) (x– a)² + (y – b)² = R². То се нарича уравнение на окръжността k.

            Една точка лежи на окръжността точно тогава, когато координатите й удовлетворяват уравнението наокръжността.

            Аконачалото на координатната система съвпада с центъра на окръжността, т.е. ако а = b = 0, уравнението на окръжността е x² + y² = R².

            Товауравнение се нарича централно уравнениена окръжност.

В развита форма уравнението (1) на окръжност е (2) x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0. Тъй като лявата част на уравнението (2) е многочлен от втора степен спрямох и у, казваме, че окръжността е крива отвтора степен.

            Общиятвид на уравнението на крива от втора степен с две неизвестни е (3) Аx² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, къдетопоне един от коефициентите А, В и С не е равен на нула.

            Катосрвним уравненията (2) и (3), получаваме, че е необходимо условиеуравнението (3) да бъде уравнение наокръжност е (4) А = С и различно от нула, В =0. Това условие, обаче не е достатъчно. Например, уравнението:

(x – 2)²+ (y – 3)²= -9, т.е. x² + y² – 4x – 6y + 22 = 0 не се удовлетворява от координатитена никоя точка. Казваме, че то е уравнение на имагинерна окръжност.

(x – 3)² + (y + 1)²= 0, т.е. x² + y²– 6x + 2y + 10 = 0 се удовлетворява единствено откоординатите на точката М (3; -1).Казваме, че то е уравнение на точка или на окръжност с радиус 0.

            Когатокоефициентите в уравнението (3) неизпълняват условието (4),множеството от точките, чиито координати удовлетворяват уравнението е друг видлиния. Например, известно ни е , че уравнение от втора степен от вида:

y= ax²+ bx + c, където а не е равно на 0, е уравнение на парабола;

xy– a = 0, т.е. у= а/х, където а не е равно на 0,е уравнение на хипербола.

Следователно параболата ихиперболата са също криви от втора степен.

 

Елипса

• Определение:Елипса се нарича множество от точките в равнината, сборът от разстоянита накоито до две дадени точки е постоянно число, по-голямо от разстоянието междудвете точки.

    Нека са дадени точките F₁ и F₂.

     Тези точки се наричат фокуси на елипсата.

     Отсечките F₁M и F₂M, които съединяват фокусите с произволна точка М от елипсата, се наричат фокусни радиуси. Дължините а тезиотсечки означаваме с r₁ иr₂.

    Некадължината на отсечката F₁F₂ е 2с, а сборът от дължините на фокусните радиуси на произволна точка М от елипсата е 2а, където а>с.

      Въвеждаме координатна система Оху с началосредата О на отсечката F₁F₂,абцисната ос - F₁F₂, насочена от F₁към F₂. Тогава координатите на фокусите F₁, F₂ и на точка М са F₁ (-с; 0), F₂ (с; 0) и М (х; у).

      По определение точката М лежи на елипсата тогава и само тогава, когато r₁ + r₂ = 2a, sqrt ((x + c)² + y²) + sqrt ((x – c)² + y²) = 2a.

       Преобразувамеуравнението на елипсата както следва и се получава x²/a²+ y²/(a² – c²) = 1.

       Поу словие а>с. Тогава разликата а²– с² е положително число. Можем да положим а² – с² = b², катоприемем, че b>0.

     Притова означение уравнението на елипсата (5)x²/a² + y²/b² = 1. То се нарича канонично уравнение на елипсата.

        На чертежа е дадено разположението на елипсата, представена с каноничното сиуравнение (5), спрямо координатните оси Ох и Оу.

        Абциситена пресечните точки А и С на елипсата с оста Ох се намират, като в уравнението (5) поставим у = 0. Получаваме А (а; 0), С(-а; 0). Аналогично намираме В (0; b), D (0; -b).

            ТочкатаО се нарича център, а точките А, В, С,D – върхове наелипсата.

            ОтсечкатаАС = 2а се нарича голяма ос, а отсечката BD = 2b – малка ос на елипсата.

            ПравитеАС и BD сенаричат оси на елипсата. Всяка отдвете оси на елипсата е нейна ос на симетрия.

            Числото е = с/а се нарича ексцентрицитет на елипсата. Тъй като 0<с<а, то 0<е<1, т.е. ексцентрицитетът наелипсата е положително число, по-малко от 1. Колкото е е по-близо до 1, толкова по-продълговата е елипсата, а колкото епо-близо да 0 толкова повече елипсата прилича на окръжност.

            Прие = 0 се получава с = 0, b = а, а уравнението (5) е x² + y² = a², т.е. елипсата „се изражда” в окръжност.

            Уравнението(5) нс елипсата е уравнение от вторастепен спрямо х и у, т.е. елипсата е крива от вторастепен. То се нарича канонично, защото поради специлното разположение наелипсата спрямо координатните оси, има опростен вид. Канонично уравнение наелипсатата е и уравнение от вида (5),когато b>а. Тогавафокусите на елипсата са върху оста Оу.

 

Хипербола

• Определение:Хипербола се нарича множеството от точките в равнината, разликата отразстоянията на които до две дадени точки е постоянно число, по-малко отразстоянието между двете точки.

            Нека са дадени точките F₁ и F₂. Тези точки се наричат фокуси нахиперболата. Отсечките F₁M и F₂M, които съединяват фокусите с произволна точка М от хиперболата, се наричат фокусни радиуси. Дължините а тези отсечки означаваме с r₁ и r₂.

            Нека дължината на отсечката F₁F₂ е 2с, а разликата от дължините на фокусните радиуси на произволнаточка М от елипсата е 2а, където а<с.

            Въвеждамекоординатна система Оху с началосредата О на отсечката F₁F₂,абцисната ос - F₁F₂, насочена от F₁към F₂. Тогава координатите на фокусите F₁, F₂ и на точка М са F₁ (-с; 0), F₂ (с; 0) и М (х; у).

            Поопределение точката М лежи наелипсата тогава и само тогава, когато |r₁ - r₂| = 2a, |sqrt ((x + c)² + y²) - sqrt ((x – c)² + y²)| = 2a. Следпреобразувания това уравнение добива вида (6)x²/a² - y²/b² = 1, където с² – а² = b².

           Уравнението(6) се нарича канонично уравнение на хиперболата.

     На чертежа е дадено разположението на хиперболата, представена с каноничното сиуравнение (6), спрямо координатнитеоси Ох и Оу.

         Абциситена пресечните точки А и В на хиперболата с оста Ох се намират, като в уравнението (6) поствим у = 0. Получаваме А (а; 0), В(-а; 0).

            ОситеОх и Оу се наричат оси нахиперболата;

• оста Ох – равлна ос на хиперболата;

• оста Оу – имагенерна ос на хиперболата.

Всяка от дветеоси на хиперболата е нейна ос на симетрия.

Числото е = с/а се нарича ексцентрицитет нахиперболата. Тъй като а<с, то е>1.